МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

     Элементарные сведения о геометрических закономерностях пространства и свойствах фигур, погруженных в него, были обобщены в труде "Начала" греческого математика Евклида. Геометрическое пространство, изучаемое в элементарной геометрии, называют евклидовым пространством.
     Фундаментальные основания начертательной геометрии связаны с трудами ученых: Рене Декарта (1596-1650), Жерара Дезарга (1591-1661) и Гаспара Монжа (1746-1818).
     Современная начертательная геометрия может быть определена как раздел математики, изучающий теорию методов графического отображения пространств различных размерностей и погруженных в них геометрических фигур.
     Геометрическая фигура (Ф) - множество (некоторая совокупность) точек. Основные классы геометрических фигур:
     · точки - нульмерные фигуры;
     · линии - одномерные фигуры;
     · поверхности - двухмерные фигуры;
     · тела - трехмерные фигуры;
     · многомерные фигуры.
     Способы построения изображений, исследуемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций.
     Проецирование - отображение фигур пространства П в фигуры пространства П', причем такое, что каждой точке A (прообразу) пространства П ставится в соответствие единственная точка A' (образ) пространства П' (рис.1).
     Если при этом каждой точке А' соответствует единственная точка А, то такое отображение является взаимно однозначным.
     Проекция точки - точка пересечения проецирующей прямой s, проходящей через данную точку, с плоскостью проекций.
     Проекция геометрической фигуры - множество проекций ее точек.
     След геометрической фигуры - фигура ее пересечения с плоскостью проекций.
     Аппарат проецирования включает три компонента:
     1. П - пространство прообразов размерности n с погруженными в него отображаемыми геометрическими фигурами (то, что отображают);
     2. П' - пространство образов размерности m (то, во что отображают);
     3. f(s) - способ отображения, характер которого определяет соответствие между прообразами и образами (то, как отображают).
     В зависимости от выбора различных сочетаний компонентов аппарата проецирования возможно образование различных способов проецирования, отличающихся своими свойствами.
     Центральное проецирование - отображение, при котором все проецирующие прямые проходят через одну точку S - центр проецирования (рис.2а).
     Проекцией точки D будет бесконечно удаленная несобственная точка DҐ. Евклидово пространство, дополненное несобственными точками, прямыми и плоскостями, называют проективным. Проекция С' точки С совпадает с самой точкой.
     Конкурирующие точки - точки, лежащие на одной проецирующей прямой (точки А и E).
     Параллельное проецирование - отображение, при котором все проецирующие прямые проходят параллельно заданному направлению s (рис.2б).
     Ортогональное (прямоугольное) проецирование - частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования s выбирается перпендикулярным к плоскости проекций (рис.2в).
     Рассмотренные способы отображения не являются взаимно однозначными. Причина этой неоднозначности в "потере" размерности, так как точка A трехмерного пространства характеризуется тремя координатами (x, y, z), а ее проекция А' на плоскость лишь двумя (x, y). Решение проблемы взаимной однозначности графического отображения для центрального и косоугольного проецирования осуществляется заданием второго центра проецирования (рис.3а и 3б), для ортогонального проецирования - заданием второго центра проецирования и второй плоскости проекций (рис.3в).
     Существует ряд других способов взаимно однозначного графического отображения, важных для некоторых практических задач: проекции с числовыми отметками (рис.3г), векториальные проекции (рис.3д), круговые проекции (рис.3е).
     Основные понятия:
     Геометрическая фигура
     Проецирование
     Центральное проецирование
     Параллельное проецирование
     Ортогональное проецирование
     Проекция точки
     Проекция геометрической фигуры
     След геометрической фигуры
     Конкурирующие точки