ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
В инженерной практике способ ортогонального проецирования (способ Монжа) является основным способом отображения для получения изображений геометрических фигур на плоскости, а также технических и строительных чертежей.
Аппарат ортогонального проецирования включает:
1) отображаемые геометрические фигуры (точки, линии, поверхности, тела), погруженные в трехмерное пространство прообразов;
2) взаимно перпендикулярные плоскости (плоскости проекций), обеспечивающие взаимную однозначность отображения, - двухмерное пространство образов;
3) отображение осуществляется прямыми, ортогональными плоскостям проекций; при этом точке пространства (прообразу) соответствует ее образ - упорядоченная пара точек (проекции точки) на двух совмещенных друг с другом плоскостях проекций.
Положение в пространстве точки, а, следовательно, и любой геометрической фигуры может быть определено при задании некоторой координатной системы. Наиболее традиционной является декартова система координат. При этом положение точки в трехмерном пространстве необходимо и достаточно определяется тремя упорядоченными числами - ее координатами: x (абсциссой), y (ординатой), z (аппликатой). В теории графического отображения три взаимно перпендикулярные плоскости этой системы служат плоскостями проекций, которые пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым - осям проекций (осям координат), исходящим из общей точки, называемой началом координат. На рис.1а представлена модель, где:
p1 - горизонтальная плоскость проекций;
p2 - фронтальная плоскость проекций;
p3 - профильная плоскость проекций;
x, y, z - оси проекций;
О - начало координат.
Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций делят пространство на восемь подпространств - октантов. Первый октант заключен между положительными направлениями осей координат.
Координаты точки определяют величины расстояний, на которые точка удалена от соответствующих плоскостей проекций:
xA = |A, p3|;
yA = |A, p2|;
zA = |A, p1|.
Ортогональная проекция точки - основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость проекций:
А' - горизонтальная проекция точки;
А" - фронтальная проекция точки;
А''' - профильная проекция точки.
При развороте плоскостей проекций до совмещения их с фронтальной плоскостью получают комплексный чертеж (эпюр Монжа) (рис.1б), на котором:
А' и А" лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси x;
A" и A''' лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси z.
При этом проекции точки могут быть построены по следующим значениям координат: А' ( xA, yA ); А" ( xA, zA ); А''' ( yA, zA ).
Совокупность трех проекций содержит избыточную информацию о координатах точки. Следовательно, необходимо и достаточно иметь лишь две плоскости проекций. Обычно за основные плоскости проекций принимают горизонтальную p1 и фронтальную p2 плоскости проекций (рис.2а), пересекающиеся по оси x.
При развороте плоскостей проекций до совмещения их с фронтальной плоскостью получают комплексный чертеж (эпюр Монжа) (рис.2б), на котором А' и А" лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси x. При этом проекции точки могут быть построены по следующим значениям координат:
А' ( xA, yA ); А" ( xA, zA ).
Значение xA откладывается по оси x относительно условно выбранного на ней начала координат О.
Две взаимно перпендикулярные плоскости проекций делят пространство на четыре подпространства - четверти. Первая четверть находится над горизонтальной и перед фронтальной плоскостями проекций. Условно принимают, что наблюдатель находится в первой четверти.
Дополнительные плоскости проекций вводят тогда, когда возникает необходимость в построении дополнительных проекций.
Основные понятия:
Координаты точки
Плоскости проекций
Оси проекций
Начало координат
Октанты пространства
Четверти пространства
Ортогональная проекция точки
Линия связи
Комплексный чертеж (эпюр Монжа)
|
Координаты точки - упорядоченные числа (символы), определяющие положение точки на прямой, поверхности (плоскости), в пространстве.
|
|
Плоскости проекций - взаимно перпендикулярные плоскости, на которых получают отображения геометрических фигур.
|
|
Оси проекций - взаимно перпендикулярные прямые, по которым пересекаются плоскости проекций.
|
|
Начало координат - точка пересечения осей проекций.
|
|
Октанты пространства - восемь подпространств, получаемых в результате деления пространства тремя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций.
|
|
Ортогональная проекция точки - основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость проекций.
|
|
Комплексный чертеж (эпюр Монжа) - чертёж, получаемый разворотом плоскостей проекций до совмещения их с фронтальной плоскостью и содержащий упорядоченные проекции геометрических фигур.
|
|
Линия связи - перпендикуляр к оси проекций, на котором располагается упорядоченная пара проекций точки.
|
|
Линия связи - перпендикуляр к оси проекций, на котором располагается упорядоченная пара проекций точки.
|
|
Комплексный чертеж (эпюр Монжа) - чертёж, получаемый разворотом плоскостей проекций до совмещения их с фронтальной плоскостью и содержащий упорядоченные проекции геометрических фигур.
|
|
Линия связи - перпендикуляр к оси проекций, на котором располагается упорядоченная пара проекций точки.
|
|
Четверти пространства - четыре подпространства, получаемые в результате деления пространства двумя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций.
|
|
Координаты точки - упорядоченные числа (символы), определяющие положение точки на прямой, поверхности (плоскости), в пространстве.
|
|
Плоскости проекций - взаимно перпендикулярные плоскости, на которых получают отображения геометрических фигур.
|
|
Оси проекций - взаимно перпендикулярные прямые, по которым пересекаются плоскости проекций.
|
|
Начало координат - точка пересечения осей проекций.
|
|
Октанты пространства - восемь подпространств, получаемых в результате деления пространства тремя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций.
|
|
Четверти пространства - четыре подпространства, получаемые в результате деления пространства двумя взаимно перпендикулярными плоскостями проекций.
|
|
Ортогональная проекция точки - основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость проекций.
|
|
Линия связи - перпендикуляр к оси проекций, на котором располагается упорядоченная пара проекций точки.
|
|
Комплексный чертеж (эпюр Монжа) - чертёж, получаемый разворотом плоскостей проекций до совмещения их с фронтальной плоскостью и содержащий упорядоченные проекции геометрических фигур.
|