Позиционные задачи

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

Позиционные задачи охватывают круг вопросов о качественных характеристиках взаимного положения геометрических фигур.
В основании классификации позиционных задач лежат представления о геометрической фигуре как о множестве точек и положения теории множеств об отношении множеств.

Принадлежность

     Основанием для установления принадлежности служит инвариантное свойство:
     Если одна фигура принадлежит другой, то проекции первой принадлежат соответствующим проекциям второй.
     (См. темы: "Прямая", "Плоскость", "Линии", "Поверхности").

Пересечение

Пересечение линий

Если пересечение линий не пусто, то фигурой их пересечения является точка (точки).

Теорема: aЗ b = L Ы a' З b' = L' Щ a" З b" = L"
Если линии пересекаются в точке, то проекции линий пересекаются в соответствующих проекциях этой точки.

При этом линии могут быть прямыми (рис.1) или кривыми (рис.2).

Пересечение линии с поверхностью

Если пересечение линии с поверхностью не пусто, то фигурой их пересечения является точка (или несколько точек).
Если хотя бы одна из фигур занимает частное, проецирующее положение, то сразу известна хотя бы одна из проекций точки пересечения (рис.3, рис.4).

     Правило определения точки пересечения L линии a и поверхности b, занимающих общее положение.
          1. Заключить линию a во вспомогательную поверхность-
          посредник g:                                               aМ g;
          2. Построить линию-посредник b:        b = g З b;
          3. Найти точку (точки) пересечения L: L = a З b.
          Примечание . Поверхность-посредник следует выбирать так, чтобы вспомогательная линия-посредник проецировалась как простейшая.

Пример. Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы (рис.5).

Пересечение поверхностей

Если пересечение поверхностей не пусто, то фигурой их пересечения является линия.
Если хотя бы одна из поверхностей занимает частное, проецирующее положение, то сразу известна хотя бы одна из проекций линии пересечения.

     Правило определения линии пересечения l поверхностей a и b, занимающих общее положение.
          1. Ввести вспомогательную поверхность-посредник g;
          2. Построить вспомогательные линии-посредники a и b:
                                  a = g З a;
                                  b = g З b ;
          3. Найти точку L, общую для поверхностей a и b:
                                  L = a З b;
          (Пункты 1,2,3 повторить n раз для того, чтобы получить последовательность точек L₁…L_n);
          4. Провести искомую линию l через полученные точкиL₁…L_n:
                                  l Й L₁…L_n
          Примечание 1 . Выбирать вид поверхности-посредника и ее расположение по отношению к данным фигурам следует так, чтобы вспомогательные линии-посредники проецировались как простейшие.
          Примечание 2. Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с характерных точек: высших, низших, ближайших и наиболее удаленных, точек изменения видимости и др.

     Пример. Построить проекции линии пересечения сферы с данными плоскостями (рис.6).
     Пример. Построить проекции линии пересечения многогранника с плоскостью и истинный вид сечения (рис.7).
     Пример. Построить проекции линий конических сечений (рис.8а, рис.8б, рис.8в).
     Пример. Построить проекции линии пересечения сферической и цилиндрической поверхностей (рис.9).
     Пример. Построить проекции линии пересечения цилиндрической и конической поверхностей (рис.10).

Теорема Монжа.
Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (рис.11).

Касание

     Касание есть предельный случай пересечения.
     В инженерной практике наибольшее значение имеют две группы задач:
          - касание прямой с некоторой линией;
          - касание плоскости с некоторой поверхностью.
     Касательная прямая к линии есть предельное положение секущей прямой, проходящей через данную точку на линии и другую точку линии, неограниченно приближающуюся к данной.

Теорема: t l = L Ы t' l' = L'Щ t" l" = L"
Если прямая касательна к линии в некоторой ее точке, то проекции прямой касательны к соответствующим проекциям линии в соответствующих проекциях точки касания(рис.12).

      Касательная к прямой в некоторой ее точке совпадает с самой прямой (рис.13); касательная к окружности в некоторой ее точке лежит в плоскости окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному через точку касания (рис.14).
      Касательная прямая к поверхности есть прямая, касательная к некоторой линии, лежащей на поверхности.
      Касательная плоскость к поверхности есть плоскость, содержащая множество прямых, касательных к данной поверхности в данной точке.
      Плоскость, касательная к поверхности, может быть определена двумя пересекающимися прямыми, касательными к двум линиям, проведенным на поверхности через точку касания.
      Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

     Правило построения плоскости t, касательной к поверхности b в некоторой точке L поверхности (рис.15).
          1.Провести линии-посредники l₁ и l₂, принадлежащие поверхности b:
                                      l₁, l₂ М b;
           2. Построить прямые t₁ и t₂, касательные к линиям-посредникам l₁ и l₂ в точке L:
                                     t₁ l₁ = L;
                                     t₂ l ₂ = L;
           3. Плоскость t, заданная прямыми t₁ и t₂, будет плоскостью, касательной к поверхности b в ее точке L:
                                      t (t₁, t₂) b = L.
           Примечание . Линии-посредники на данной поверхности следует выбирать так, чтобы они проецировались как простейшие.

Пример. Построить плоскость, касательную к поверхности сферы, и нормаль к ней в заданной точке поверхности (рис.16).

     Основные понятия:
     Линия-посредник
     Поверхность-посредник
     Касание
     Касательная прямая (к линии, к поверхности)
     Касательная плоскость к поверхности
     Нормаль к поверхности

Линия-посредник - линия пересечения вспомогательной поверхности - посредника с заданной поверхностью.

Поверхность-посредник - вспомогательная, дополнительная поверхность, вводимая для упрощения решения задач на пересечение геометрических фигур.

Касание - предельный случай пересечения.

Касательная прямая:
к линии - предельное положение секущей прямой, проходящей через данную точку на линии и другую точку линии, неограниченно приближающуюся к данной; к поверхности - прямая, касательная к некоторой линии, лежащей на поверхности.

Касательная плоскость к поверхности - плоскость, содержащая множество прямых, касательных к данной поверхности в данной точке.

Нормаль к поверхности - прямая, перпендикулярная к плоскости, касательной к поверхности, и проходящая через точку касания.