ЛЕКЦИЯ 10

Краткое содержание: Метрический синтез типовых рычажных механизмов. Структурные схемы простейших типовых механизмов. Цель и задачи метрического синтеза механизмов. Методы метрического синтеза механизмов. Условия проворачиваемости звеньев механизма. Понятие о коэффициенте неравномерности средней скорости и о угле давления в рычажном механизме. Частные задачи синтеза: четырехшарнирный механизм - синтез по k_v и синтез по двум положениям выходного звена; кривошипно-ползунный механизм - синтез по k_v, по средней скорости ползуна, по двум положениям выходного звена; кулисный механизм - по рабочему перемещению выходного звена (для четырехзвенного механизма), по коэффициенту k_v (для шестизвенного механизма). Оптимальный синтез рычажных механизмов. Синтез механизма по заданной функции положения.

Метрический синтез типовых рычажных механизмов.

Под метрическим синтезом или проектированием механизмов понимают определение линейных размеров и угловых положений звеньев по условиям рабочих положений и перемещений выходного звена. К решению задач метрического синтез приступают после определения структуры механизма - выбора его структурной схемы. В нашем курсе рассматриваются только простые типовые четырех- или шестизвеные рычажные механизмы.

Структурные схемы простейших типовых механизмов.

Цель и задачи метрического синтеза механизмов.

Цель метрического синтеза механизма - определение размеров механизма и положений его входного звена наилучшим образом удовлетворяющих заданным условиям и обеспечивающих наилучшее (оптимальное) сочетание качественных показателей.

Из множества возможных задач решаемых при метрическом синтезе наиболее распространены:

• синтез по нескольким заданным положениям выходного звена (задача позиционирования), когда не важно по какому закону происходит переход из одного положения в другое;
• синтез по заданному закону движения выходного звена (по функции положения, по первой или второй передаточной функции);
• синтез по конкретным кинематическим параметрам: средней скорости выходного звена, коэффициенту неравномерности средней скорости;
• синтез по условиям передачи сил между звеньями механизма - по допустимому углу давления.

В качестве ограничений или качественных показателей при метрическом синтезе механизмов используются:

• условие проворачиваемости звеньев, т.е. обеспечение для входного и (или) выходного звеньев возможности поворота на угол более 360 градусов;
• допустимые углы давления, т.е. угол между вектором движущей силы, действующей с ведущего звена на ведомое, и вектором скорости точки ее приложения не должен превышать некоторых допустимых величин, чтобы исключить недопустимо большие величины реакций в КП, низкий КПД механизма, возможность его заклинивания (невозможность движения при любой величине движущей силы на входном звене);
• конструктивные ограничения на габариты механизма, т.е. размеры звеньев должны обеспечивать вписывание механизма в заданные габаритные размеры;
• точность обеспечения заданного закона движения или заданных положений звеньев механизма;
• другие условия и требования определяемые условиями функционирования и эксплуатации механизма.

Методы метрического синтеза механизмов.

Как и общие методы проектирования, методы метрического синтеза условно делятся:

• графоаналитические и аналитические методы прямого синтеза (разработаны для типовых и ряда специальных механизмов, частично рассмотрены ниже);
• синтез методами анализа:
  • оптимальноепроектирование:
    • Градиентные методы,
    • метод случайного поиска,
    • минимизация уступок,
    • комбинированные методы,
    • другие;
  • автоматизирование проектирование.

Условия проворачиваемости звеньев механизма.

Часто по условиям работы требуется, чтобы входное и (или) выходное звенья могли в процессе движения поворачиваться на угол более 360 градусов. Для обеспечения этого необходимо выполнить некоторые условия, которые накладываются на соотношение длин звеньев механизма.

Для четырехшарнирного механизма эти соотношения сформулированы в правиле или теореме Грасгофа:

Если сумма длин наибольшего и наименьшего звеньев меньше суммы двух остальных и стойкой является наименьшее звено, то механизм - двухкривошипный. Если неравенство выполняется, но стойкой является звено соединенное с наименьшим, то механизм - кривошипно-коромысловый. Во всех остальных случаях механизм - двухкоромысловый.

Математически это можно записать так:

при L₁ > L₂ > L₃ > L₄ , где L_i присваивается значение длины звена, удовлетворяющей этому неравенству,

если L₁ + L₄ < L₂ + L₃ и L₁ = l₀ , то механизм двухкривошипный;

иначе механизм двухкоромысловый.

Для кривошипно-ползунного механизма условие существования кривошипа

l₁ < l₂ - | e | .

Если условие выполняется - механизм кривошипно-ползунный, нет - коромыслово-ползунный.

Понятие о коэффициенте неравномерности средней скорости и о угле давления в рычажном механизме.

1. Четырехшарнирный механизм.

Углом давления J называется угол между вектором силы действующей на ведомое звено с ведущего и вектором скорости точки приложения этой силы на ведомом звене.

На рис. 10.7 изображен четырехшарнирный механизм . К входному звену 1 этого механизма приложен движущий момент М_д , к выходному звену 3 -

момент сопротивления М_с3. На этапе проектирования массы и моменты инерции звеньев не Рис. 10.7 определены, поэтому движущая сила действующая на ведомое звено - реакция F₃₂ направлена по линии ВС, скорость точки ее приложения на звене 3 - V_C направлена в сторону w ₃ перпендикулярно звену 3. Угол J ₃₂ между векторами F₃₂ и V_C - угол давления во вращательной паре С. С увеличением этого угла тангенциальная составляющая силы F^t₃₂, способствующая повороту звена 3 в направлении w ₃, уменьшается , а нормальная Fⁿ₃₂, которая не влияет на движение, а только деформирует (сжимает) звено 3, увеличивается. То есть с увеличением угла давления условия передачи сил в КП ухудшаются. Так как в реальных КП всегда имеется трение, то при определенной величине угла давления в КП возможно самоторможение или заклинивание. Самоторможение или заклинивание - это такое состояние механизма, когда в результате возрастания углов давления в одной из КП , движение механизма становится невозможным при сколь угодно большом значении движущей силы. Часто для характеристики условий передачи сил пользуются коэффициентом возрастания усилий (без учета трения)

kJ = F₃₂ / F^t₃₂ = 1/ cos J ₃₂ .

Так как в реальных механизмах всегда имеется трение, то заклинивание происходит при углах давления J _з < 90° . При расчете задаются коэффициентом возрастания усилий (например kJ = 2) и определяют допустимый угол давления [J ]. Для предварительных расчетов принимают для механизмов только с вращательными парами [J ] = 45° - 60° , при наличии поступательных КП [J ] = 30° - 45° . Необходимо отметить, что в так называемых “мертвых” положениях механизма углы давления J = 90° . В статике в таком положении возможно заклинивание механизма, в динамике механизм проходит эти положения используя кинетическую энергию, которую запасли подвижные звенья.

Коэффициентом неравномерности средней скорости kw называется отношение средней скорости выходного звена на обратном ходе w _{3ср ох} к средней скорости прямого хода w _3ср

kw = w_{3ср ох} / w _{3ср пх}

где w _{3ср ох} = D j ₃/t_ох ,

w _{3ср пх} = D j ₃/t_пх ,

t_ох и t_пх - соответственно время обратного и время прямого хода.

При проектировании технологических машин, в которых нагрузка на выходном звене механизма на рабочем или прямом ходе намного больше нагрузки на холостом или обратном ходе, желательно, чтобы скорость выходного звена на прямом ходе была меньше, чем на обратном. С целью сокращения времени холостого хода, тоже необходимо увеличивать скорость при обратном ходе. Поэтому при метрическом синтезе механизма часто надо подбирать размеры звеньев обеспечивающие заданный коэффициент неравномерности средней скорости.

2. Кривошипно-ползунный механизм.

В кривошипно-ползунном механизме размеры механизма определяются углом давления в поступательной КП (рис.10.10).

Для этой схемы справедливы следующие соотношения:

Угол давления для внеосного кривошипно-ползунного механизма:

при прямом ходе

sin J _пх = ( l₁ - e )/ l₂ *sin [ J _пх];

при обратном ходе

sin J _ох = ( l₁ + e )/ l₂ *sin [ J _ох].

Для поступательной КП : [ J _пх] = 30; [ J _ох] = 45° , тогда

l₁ / l₂ *( sin [ J _ох] + sin [ J _пх] )/ 2 ; l₁ / l₂ *( sin [ 45° ] + sin [ 30° ] )/ 2 ;

l₁ / l₂=0.6

Решение задач метрического синтеза для типовых четырехзвенных механизмов.

1. Проектирование по коэффициенту неравномерности средней скорости .

a)четырехшарнирный механизм

Дано: kw _, H_C, [ J ], j ₃₀ , D j ₃ , l_DC

Определить: l _i - ?

По kw рассчитывается угол q

_____________________________________________________

от оси х откладывается начальное положение выходного звена и его рабочее перемещение точки С в начальном и в конечном положениях соединяют прямой и от перпендикуляров к этой прямой откладываем углы q и проводим лучи C'О определяем точку О - центр окружности r₀ проходящей через точки C', и искомую точку A. Положение точки A на этой окружности определяется в зависимости от исходных данных:

1. в точке C от вектора скорости V_C' откладывается угол давления J ? = [ J ], и проводится луч до пересечения с окружностью r₀ в точке A ;
2. как точка пересечения оси х с окружностью r₀;
3. как точка пересечения окружности r₀ с окружностью радиуса l₀ ( если величина l₀ задана ).

Затем по определенным таким образом размерам l_AC' и l_AC'' находим длины звеньев 1 и 2

l_AC'= l₂ + l₁ , l_AC'' = l₂ - l₁ ,

откуда

l₁ = ( l_AC'' - l_AC' )/ 2 , l₂ = ( l_AC'' + l_AC' )/ 2.

б)кривошипно-ползунный механизм;

Дано: k_V, H_C , [ J ]

Определить: l _i - ?

По k_V рассчитывается угол q

____________________________________________________

от оси х откладывается рабочее перемещение выходного звена H_C , точки С в начальном C'' и в конечном C' положениях соединяют прямой и от перпендикуляров к этой прямой откладываются углы q и проводятся лучи C' О и C''О и определяем точку О - центр окружности r₀ проходящей через точки C', C'' и искомую точку A. Положение точки A на этой окружности определяется:

1. как точка пересечения луча AC'' с окружностью r₀ (в точке C'' от вектора скорости V_C'' откладывается угол давления J = [J ] и проводится луч AC'' до пересечения с окружностью r₀ в точке A );
2. как точка пересечения прямой, проведенной на расстоянии заданного экспентриситета е и параллельной оси х, с окружностью r₀ .

Затем по размерам l_AC' и l_AC'' определяются длины звеньев 1 и 2

l₁ = ( l_AC' - l_AC'' )/ 2 , l₂ = ( l_AC' + l_AC' )/ 2.

2. Проектирование по двум положениям выходного звена .

а)четырехшарнирный механизм

Дано: [ J ], j ₃₀ , D j ₃ , l_DC

^{________________________________} Определить: l _i - ?

Решение проводится по схеме, которая изображена на рис. 10.13. Положение точки A определяется пересечением луча A С'' , проведенного Рис. 10.13 в точке С'' под углом J = [J ] к вектору скорости V_C'' :

• с окружностью радиуса l₀ (точка A_l0 );
• с продолжением оси х .

Затем, как описано выше, по размерам l_AC'и l_AC'' определяются длины звеньев 1 и 2.

• кривошипно-ползунный механизм дезаксиальный

Дано: [ J ], S₃₀ , H_C , e

^{________________________________} Определить: l _i - ?

Решение проводится по схеме, которая изображена на рис. 10.14. Положение точки A_e определяется пересечением луча AС' , проведенного в точке С' под Рис. 10.14 углом J = [J ] к вектору скорости V_C' с продолжением оси х . Затем, как описано выше, по размерам l_AC' и l_AC'' определяются длины звеньев 1 и 2.

• центральный кривошипно-ползунный механизм ( е = 0 )

Дано: h_C , j ₁ = j _hC ,

l ₂ = l₂ / l₁ , e = 0

Определить: l_i - ?

Спроецируем векторный контур l_AB + l_BC = l_AC на оси координат:

l₁ * cos j ₁ + l₂ * cos j ₂ + h_C = l₁ + l₂ ,

l₁ * sin j ₁ + l₂ * sin j ₂ = 0 ,

l₁ / l₂ * sin [ J ] или l₂ / l₁ = l ₂ ;

откуда

l₁ = h_C / { 1-cos j ₁ + [ 1 - cos ( arcsin (l _{2 ?} sin j ₁)]/ l ₂ },

l₂ = l₁ / l ₂ .

3. Проектирование кривошипно-ползунного механизма по средней скорости ползуна .

Дано: H_C , k_V = 1 , e = 0 , [ J ] , n_1ср

________________________________

Определить: l_i - ?

Средняя скорость ползуна

V_Cср = 2 * H_C / T ,

где T = 1/ n_1ср - период или время одного оборота кривошипа в с,

H_C = 2* l₁ - ход ползуна.

Размеры звеньев механизма

l₁ = V_Cср / ( 4* n_1ср ) , l₂ = l₁ / l ₂ .

4. Проектирование кулисного механизма по углу давления .

Рис. 10.15

Дано: H_D , b , [ J ]

_______________________

Определить: l_i - ?

Если расположить центр пары А на прямой соединяющей точки С' и С'' , то углы давления

J' = J' = b / 2,

тогда

l _{C' C'' »}H_D = 2 * l_{1 *}sin (b / 2)

и l₁ = H_D / [2* sin (b / 2)].

Минимальная длина гидроцилиндра

l_CDmin = k * H_D ,

где k = 1.05 - 1.3 - коэффициент учитывающий особенности конструкции гидроцилиндра ( уплотнение, расположение опоры А и др. ).

Размер l₄ можно определить из D BC? A

где cos t = - cos ( p - t ) = - sin J ? ,

и

5. Проектирование шестизвенного кулисного механизма .

Дано: k_V, H_E , [ J ], l₀

^{_____________________________}

Определить: l_i , h - ?

Угловой ход кулисы

______________________________

Из D АВС длина звена 1

l₁ = l₀ *sin(b ₃/2) = l₀*sin(q /2).

Из D СD? q длина звена 3

l₃ = H_E / [2*sin(b ₃/2)] = H_E / [2*sin(q /2)] .

Длина звена 4 определяется по допустимому углу давления

sin J = (l₃ - h)/l₄ * sin [ J ].

Принимаем dq = qf , где dq = l₃ * [ 1 - cos (q /2)], тогда

h = l₃ * {1 - [ 1- cos (q /2)]/2},

l₄ * ( l₃ - h )/ sin [ J ] или l₄ * ( l₃*[ 1- cos (q /2)])/(2* sin [ J ]).

Оптимальный синтез рычажных механизмов.

Согласно энциклопедическому словарю, задача оптимального проектирования - это экономико-математическая задача, содержащая критерий оптимальности и ограничения и направленная на поиск лучшего в определенных условиях (т.е оптимального) значения показателя. Оптимизация - отыскание такого решения рассматриваемой задачи, которое дает экстремальное (минимальное или максимальное) значение некоторой функции, называемой целевой [ Ю.А.Казик Математический словарь. Таллин. “Валгус” 1985 ].

При оптимальном метрическом синтезе механизма необходимо определить такое сочетание его размеров (внутренние параметры), которое наилучшим образом удовлетворяет требуемым эксплуатационным и качественным показателям (критерии оптимизации и ограничивающие условия). При метрическом синтезе в качестве качественных показателей обычно используются: габариты механизма, точность обеспечения заданных положений или закона движения (функции положения или передаточной функции), условия передачи сил в КП (углы давления в КП) и другие показатели. Механизм при оптимальном проектировании характеризуется двумя n-мерными векторами: параметров и качественных показателей. На значения как парметров, так и качественных показателей могут быть наложены некоторые ограничения в виде равенств или неравенств. Ограничения могут быть:

• параметрическими (например, ограничения на длины звеньев механизмов);
• дискретизирующими (например, выбор размеров из стандартного ряда);
• функциональными (например, условия проворачиваемости звеньев механизма, условия заклинивания КП).

Ограничения формируют область допустимых значений параметров, в пределах которой осуществляется поиск оптимального решения. В пределах этой области могут существовать локальные и глобальный оптимум целевой функции. Целевая функция может быть одномерной или многомерной. При многомерной оптимизации необходимо формирование сложной целевой функции, учитывающей вес каждого из качественных показателей, например, аддитивной

Ф ( G , d , J , ... ) = k₁*G + k₂*d + k₃*J + ...

или мультипликативной функции

Ф ( G , d , J , ... ) = G ^k1 *d ^k2 * J ^{k3 ?} ...

где Ф ( G , d , J , ... ) - целевая функция, G - габариты механизма, d - точность механизма, J - углы давления в КП механизма, k_i - весовые коэффициенты при качественных показателях.

На рис. 10.17 представлена целевая функция при однопараметрической оптимизации ( р - параметр оптимизируемой системы ). Ограничения по параметру р_min и p_max определяют область допустимых решений (ОДР), в пределах которой проводится поиск оптимального решения. В нашем примере в этой области целевая функция имеет два минимума: локальный при р_л.опт и глобальный при р_гл.опт .

Задача считается решенной после определения глобального экстремума функции.

Методы решения задач оптимизации весьма разнообразны и являются предметом изучения в таких учебных дисциплинах как вычислительная математика, математическое программирование, САПР .

Синтез механизма по заданной функции положения.

Дано: Структурная схема механизма, функция положения выходного звена j ₃ = П (j ₁) на рабочем перемещении D j ₃ при начальном положении j ₃₀ .

Определить: Размеры звеньев механизма, обеспечивающие наилучшее приближение к заданной функции.

Предположим, что синтезируется четырехшарнирный механизм. Тогда необходимо определить размеры всех четырех звеньев механизма и начальное значение обобщенной координаты j ₁₀ , т.е. пять неизвестных. Так как решается задача метрического синтеза, а абсолютные размеры звеньев определяются прочностными характеристиками, рабочими нагрузками и материалами, то целесообразно перейти к относительным размерам звеньев, приняв длину одного из них (например, стойки) равной единице. Общее число неизвестных, таким образом, сократится до четырех. Изобразим расчетную схему синтезируемого механизма и заданную функцию положения (рис. 10.18). Выберем на функции положения случайным образом (либо по какой-нибудь стратегии) четыре точки с координатами выходного звена j ₃₁ ,j ₃₂ ,j ₃₃, _{j 34} . Для каждого из положений можно записать векторное уравнение или два уравнения в проекциях на оси координат (ось абсцисс совпадает с вектором l₀ ):

l₁ + l₂ = l₃ + l₀ , l₁ * sin j ₁ + l₂ * sin j ₂ = l₃ * sin j ₃ ,

l₁ * cos j ₁ + l₂ * cos j ₂ = l₃ * cos j ₃ + l₀ .

В число неизвестных в рассматриваемой задаче входят l₁, l₂, l₃и j ₁₀, l₀ считаем заданным, приращения углов D j _i1 определяются по заданной функции положения по выбранным значениям j _3i . Для определения четырех неизвестных необходимо задать как минимум четыре точки на заданном участке функции положения. По этим точкам составим систему четырех векторных уравнений

где второе уравнение каждой подсистемы в поекциях позволяет определить угол j _2i.

Из этой системы определим размеры звеньев механизма и начальное значение координаты j ₁₀. Функция положения синтезированного таким образом механизма будет совпадать с заданной функцией в выбранных точках – узлах интерполяции. Наибольшие отклонения заданной и полученной функций будут находится между узлами интерполяции (рис.10.18). Изменяя положение узлов интерполяции в пределах рабочего перемещения выходного звена можно уменьшать отклонения полученной функции положения от заданной. При использовании метода наименьших квадратов число точек должно быть больше чем число неизвестных (хотя бы на единицу). Полученная функция положения при этом проходит не через узлы интерполяции, а так чтобы отклонения сумма квадратов отклонений в заданных точках была минимальна.