Алгоритм минимизации по правильному симплексу можно модифицировать, добавив к процедуре отражения при построении нового симплекса процедуры сжатия и растяжения. А именно, положение новой вершины y вместо вершины xn , соответствующей наибольшему значению функции, находится сравнением и выбором наименьшего среди значений целевой функции в точках:
z1= xc - a( xc - xn), 0<a<1;
z2 = xc + a( xc - xn), 0<a<1; ............................................................(2)
z3 = xc + b( xc - xn), b приближенно равно 1;
z4 = xc + g( xc - xn), g<1.
Геометрическая иллюстрация этих процедур для двумерного пространства приведена на рисунке.
Пробные точки z1, z2, z3, z4 для перехода к новому симплексу
Новые симплексы полученные в результате процедуры сжатия (a,b); отражения (c); растяжения (d)
Так как величина a принадлежит интервалу (0;1), то выбор точек z1 и z2 соответствует сжатию симплекса; b приближенно равно 1, поэтому выбор точки z3 соответствует отражению, а g>1 и выбор точки z4 приводит к растяжению симплекса.
Отметим, что при деформациях утрачивается свойство правильности исходного симплекса.
На практике хорошо зарекомендовал себя следующий набор параметров a=1/2, b=1, g=2.
Алгоритм метода поиска точки минимума функции по деформируемому симплексу
Начальный этап. Выбрать параметр точности eps, параметры a, b и g, базовую точку x0 , параметр a и построить начальный симплекс. Вычислить значение функции f(x0).
Основной этап. Шаг 1. Вычислить значения функции в вершинах симплекса x1,..., xn.
Шаг 2. Упорядочить вершины симплекса x0,..., xn так, чтобы f(x0)<=f(x1)<=...<=f(x[n-1])<=f(xn).
Шаг 3. Проверить условие (1/n)Sum[f(xi)-f(x0)]^2 < e^2, i=[1,n].
Это одно из возможных условий останова. При его выполнении "дисперсия" значений f(x) в вершинах симплекса становится меньше e2, что, как правило, соответствует либо малому ребру a симплекса, либо попаданию точки минимума x* внутрь симплекса, либо тому и другому одновременно.
Если это условие выполнено, то вычисления прекратить, полагая x*= x0. В противном случае перейти к шагу 4.
Шаг 4. Найти xс и пробные точки zk , k=1,...,4 по формулам (2). Найти f(z*)=minf(zk). Если f(z*)<f(xn), то положить xn = z* и перейти к шагу 2. Иначе - перейти к шагу 5.
Шаг 5. Уменьшить симплекс, полагая xi=( xi+ x0)/2, i=1,...,n перейти к шагу 1.
