ЛЕКЦИЯ 8

Краткое содержание: Установившийся режим движения машины. Неравномерность движения и метолы ее регулирования. Коэффициент неравномерности. Маховик и его роль в регулировании неравномерности движения. Решение задачи регулирования хода машины по методу Н.И.Мерцалова. Алгоритм решения прямой задачи динамики при установившемся режиме движения машины. Статическая характеристика асинхронного электродвигателя и ее влияние на неравномерность движения. Устойчивость движения машины с асинхронным электродвигателем.

Установившийся режим движения машины.

Установившийся режим движения машины наступает тогда когда работа внешних сил за цикл не изменяет ее энергии, то есть суммарная работа внешних сил за цикл движения равна нулю.

Установившееся движение А_д^ц = А_с^ц , А^ц = D Т = 0 ,

где

за цикл движущих сил и сил сопротивления,

j ₁₀ - начальное значение обобщенной координаты, _{D j ц} - приращение обобщенной координаты за цикл.

Рис. 8.1

В пределах цикла текущее значение суммарной работы не равно нулю. Работа может быть то положительной, то отрицательной. При положительной величине работы машина увеличивает свою кинетическую энергию за счет увеличения скорости, то есть разгоняется. На участках, где суммарная работа отрицательна, кинетическая энергия и скорость машины уменьшается, машина притормаживается. В установившемся режиме величины увеличения скорости на участках разгона и снижения на участках торможения за цикл равны, поэтому средняя скорость движения w _1ср = const постоянна. В машинах приведенный момент инерции которых зависит от обобщенной координаты, на неравномерность движения оказывает влияние величина изменения приведенного момента инерции. Колебания скорости изменения обобщенной координаты машины не оказывают прямого влияния на фундамент машины. Поэтому эти колебания и вызывающие их причины определяют, так называемую, внутреннюю виброактивность машины.

Величина амплитуды колебаний скорости D w ₁ определяется разностью между максимальной w _1max и минимальной w _1min скоростями. За меру измерения колебаний скорости в установившемся режиме принята относительная величина,

которая называется коэффициентом изменения средней скорости

d = D w ₁ /w _1ср = ( w _1max-- w _1min ) / w _1ср ,

где w _1ср = ( w _1max + w _1min ) / 2 - средняя угловая скорость машины.

Для различных машин в зависимости от требований нормального функционирования (обрыв нитей в прядильных машинах, снижение чистоты поверхности в металлорежущих станках, нагрев обмоток и снижение КПД в электрогенераторах и т.д.) допускаются различные максимальные значения коэффициента изменения средней скорости. Существующая нормативная документация устанавливает следующие допустимые значения коэффициента неравномерности [d ]:

• дробилки [d ] = 0.2 ... 0.1;
• прессы, ковочные машины [d ] = 0.15 ... 0.1;
• насосы [d ] = 0.05 ... 0.03;
• металлорежущие станки нормальной точности [d ] = 0.05 ... 0.01;
• металлорежущие станки прецизионные [d ] = 0.005 ... 0.001;
• двигатели внутреннего сгорания [d ] = 0.015 ... 0.005;
• электрогенераторы [d ] = 0.01 ... 0.005;
• прядильные машины [d ] = 0.02 ... 0.01 .

Чтобы снизить внутреннюю виброактивность и неравномерность движения применяются различные методы:

• уменьшение влияния неравномерности внешних сил ( например, применение многоцилиндровых ДВС, насосов и компрессоров с рациональным сдвигом рабочих процессов в цилиндрах );
• уменьшение влияния переменности приведенного момента инерции ( тоже обеспечивается увеличением числа цилиндров в поршневых машинах, а также уменьшением масс и моментов инерции деталей, приведенный момент инерции которых зависит от обобщенной координаты );
• установка на валах машины центробежных регуляторов или аккумуляторов кинетической энергии - маховиков;
• активное регулирование скорости с использованием систем автоматического управления, включая и компьютерное управление.

Рассмотрим подробно наиболее простой способ регулирования неравномерности вращения - установку дополнительной маховой массы или маховика. Маховик в машине выполняет роль аккумулятора кинетической энергии. При разгоне часть положительной работы внешних сил расходуется на увеличение кинетической энергии маховика и скорость до которой разгоняется система становится меньше, при торможении маховик отдает запасенную энергию обратно в систему и величина снижения скорости машины уменьшается. Сказанное иллюстрируется графиками, изображенными на рис. 8.2. На этом рисунке: D w ₁ - изменение угловой скорости до установки маховика, D w ₁^* - после установки маховика. Отсюда можно сделать вывод: чем больше дополнительная маховая масса, тем меньше изменение D w ₁^* и коэффициент неравномерности d .

Определение закона движения D w ₁ = f ( j ₁ ) и приведенного момента инерции I^пр_I .

Из теоремы об изменении кинетической энергии можно записать

D T = T - T_нач = А, где D T = D T_I + D T_II = А и T_I = I^пр_I*w ²₁/2 .

Если допустить, что D T_I » dT_I , то dT_I = I^пр_I *w ₁ * dw ₁ . Так как при установившемся движении D w ₁ < < w ₁ , то можно считать что w ₁ » w _1ср . Тогда, переходя к конечным приращениям, получим:

D T_I » I^пр_I *w _1ср * D w ₁ , откуда D w _{1 »} D T_I / I^пр_I *w _1ср .

Так как I^пр_I *w _1ср = const , то можно записать что D T_Imax » I^пр_I *w _1ср * D w _1max, где D T_Imax - изменение кинетической энергии первой группы звеньев за цикл, D w _1max - изменение угловой скорости за цикл. Подставим в эту формулу выражение для коэффициента неравномерности d = D w _1max /w _1ср и получим формулу для расчета приведенного момента инерции первой группы, который обеспечивает заданный коэффициент неравномерности

Определение момента инерции дополнительной маховой массы (маховика).

Рассмотрим определение маховика для примера рассмотренного в лекции 6 - одноцилиндрового поршневого насоса. В первую группу звеньев в этом примере входят: ротор электродвигателя I_рот, детали редуктора I ^пр_ред, кривошипный вал I₀₁ и маховик I_м

откуда момент инерции маховика

Решение задачи регулирования хода машины по методу Н.И.Мерцалова.

При расчете маховика (или решении задачи регулирования хода машины) по методу Н.И.Мерцалова задача решается в следующей последовательности:

• Определяются параметры динамической модели, например для ДВС М^пр_д - приведенный суммарный момент движущих сил и I^пр_II - приведенный момент инерции второй группы звеньев.
• Определяется работа движущих сил А_д интегрированием функции М^пр_д = f(j ₁) за цикл движения машины (допустим 2p );
• Определяется работа движущих сил за цикл и приравнивается к работе сил сопротивления А_д^ц = А_с^ц. Из этого равенства определяется среднеинтегральное значение момента сил сопротивления

и для него строится диаграмма работы А_с = f(j ₁). Суммированием этой диаграммы и диаграммы А_д = f(j ₁) получаем диаграмму А = f(j ₁).

• Делается допущение w ₁ » w _1ср , при котором T_II » I^пр_II *w _1ср²/ 2 (первое допущение метода Мерцалова), и определяется T_II = f(j ₁).
• Определяется кинетическая энергия первой группы звеньев

Так как начальные значения кинетической энергии неизвестны, то если учесть, что T_нач = T_Iнач + T_IIнач , D T_I = T_I - T_Iнач , D T_II = T_II - T_IIнач , получим

то есть, вычитая из суммарной работы приращение кинетической энергии второй группы, получим приращение кинетической энергии первой группы.

По функции D T_I = f(j ₁) определяется максимальное изменение кинетиской энергии за цикл D T_Imax . Второй раз делаем допущение w ₁ » w _1ср на основании которого, как показано выше, можно записать

I^пр_I = D T_Imax / (d *w _1ср²).

Из этого выражения, определив предварительно D T_Imax , можно решить две задачи:

• задачу синтеза - при заданном [d ] определить необходимый для его обеспечения приведенный момент инерции I^пр_{I нб} ,
• задачу анализа - при заданном I^пр_I определить обеспечиваемый им коэффициент неравномерности d .

Решение этой задачи рассмотрим на конкретном примере машинного агрегата привода буровой установки.

Дано: Кинематическая схема машины - l_AB = 0.12м, l_BC = 0.528м, l_BS2 = 0.169м, средняя частота вращения кривошипа - w _1ср = 47.124 рад/с², массы звеньев -

m₂ = 24.2 кг, m₃ = 36.2 кг, момент инерции - I _2S = 1.21 кг* м², I ₁₀ = 2.72 кг* м², максимальное давление в цилиндре - p_max = 4.4 МПа , коэффициент неравномерности вращения [d ] = 1/80 , индикаторная диаграмма (приведена на рис. 8.3) .

_________________________________________________________________

Определить: закон движения машины w ₁ = f(j ₁) и e ₁ = f(j ₁), момент инерции маховика I_доп , обеспечивающий заданную неравномерность вращения [d ].

1. Определение параметров динамической модели: М^пр_д - приведенного суммарного момента движущих сил и I^пр_II - приведенного момента инерции второй группы звеньев.
2. Определение первых кинематических передаточных функций. Определение кинематических передаточных функций для звеньев механизма u₂₁ = u₃₁ , центров масс V_qS1 , V_qS2 и V_qS3 и точки приложения движущей силы V_qD . Для определения этих функций воспользуемся методом проекций векторного контура механизма .

Рассмотрим следующие векторные контуры, изображенные на рис. 8.4 рядом со схемой механизма:

l _AB + l _CB = l _AC ; l _AS2 = l _AB + l _BS2 .

Для первого векторного контура l _AB+ l _CB = l _AC проекции на оси координат

l_AB * cos j ₁ + l_CB * cos j ₂ = x_C = 0,

Рис. 8.4

Производные от этих выражений

позволяют определить первые передаточные функции

Для третьего векторного контура l _AS2 = l _AB + l _BS2 проекции на оси координат

x_S2 = l_AB * cos j ₁ + l_BS2 * cos j ₂ ,

Производные от этих выражений

позволяют определить первую передаточную функцию

Рис. 8.5

1.2. Определение приведенного момента движущих сил М^пр_д .

Индикаторную диаграмму (рис.8.3) строим по заданным значениям давления в цилиндре двигателя. Отрезок хода поршня Н_C* m _i делим на 10 интервалов. В каждой точке деления строим ординату диаграммы, задавшись (при p_i /p_max = 1) максимальной ординатой y_pmax . Тогда текущее значение ординаты

y_pi= y_pmax * ( p_i/p_max ),

где p_max= 4.4 МПа.

Масштаб индикаторной диаграммы

Площадь поршня S_п = p *d_п² /4 .

При построении графика силы, действующей на поршень, ординаты этого графика принимаем равными ординатам индикаторной диаграммы. Тогда масштаб силы

m _F = m _p/S_п.

Для исследуемого механизма приведенный суммарной момент состоит из двух составляющих: движущей силы и момента сил сопротивления

M^пр = M^пр_д + M^пр_с .

Приведенный момент движущей силы определяется в текущем положении механизма по формуле

где F _дi - значение движущей силы,

F _дi = y_Fдi / m _F ,

где y_Fдi - ордината силы сопротивления,

m _F - масштаб диаграммы сил.

V_qСi - значение передаточной функции в рассматриваемом положении механизма,

- угол между вектором силы и вектором скорости точки ее приложения.

Масштаб диаграммы по оси абсцисс определяется по формуле

m j = b / 2*p ,

где b - база диаграммы ( отрезок оси абсцисс, который изображает цикл изменения обобщенной координаты).

1.3. Построение диаграммы приведенных моментов инерции I_v^пр = I _II^пр.

Инерционные характеристики звеньев механизма в его динамической модели представлены суммарным приведенным моментом инерции. При расчете эту характеристику динамической модели представляетсяв виде суммы двух составляющих переменной I_v^пр = I _II^пр и постоянной I_c^пр = I_I^пр. Первая определяется массами и моментами инерции звеньев, передаточные функции которых постоянны, вторые - массами и моментами инерции звеньев передаточные функции которых переменны.

Проведем расчет переменной части приведенного момента инерции I_v^пр = I _II^пр. Для рассматриваемого механизма во вторую группу звеньев входят звенья 2 и 3. Звено 3 совершает поступательное движение, звено 2 -плоское. Расчет переменной части приведенного момента проводится по следующим зависимостям:

I_v^пр = I _II^пр = I_2В^пр + I_2П^пр+ I₃^пр,

где

I_2П^пр = m ₂ * V_qS2², I_2В^пр = I_S2 * u₂₁², I₃^пр= m₃* V_qС²,

Рис. 8.7

2. Построение диаграмм работы движущей силы, сил сопротивления и суммарной работы.

Диаграмму работы движущей силы получим интегрируя диаграмму ее приведенного момента

Интегрирование проведем графическим методом (рис.8.8), приняв при этом отрезок интегрирования равным k₁ . Тогда масштаб полученной диаграммы работы движущей силы будет равен

tg y ₁ = yD _Aд / xD j ₁ = y_Mпрд1/ k₁ D A_д * m _А/ (D j ₁ * m j ) = M^пр _д1 * m _М / k₁

так как D A_д / D j ₁ = M^пр _д1 , то m _А / m j = m _М / k₁ , откуда

m _А = m _М *m j / k₁ .

Величина среднеинтегрального момента сил сопротивления определяется по формуле

3. Построение диаграмм кинетических энергий.

Диаграммы кинетических энергий для первой и второй групп звеньев получает на основании теоремы об изменении кинетической энергии системы

D Т = Т - Т_нач, A = D Т _I + D Т _II .

График кинетической энергии второй группы звеньев получим из зависимости

Т _II = I_II ^пр*w _1ср² /2,

принимая, что w ₁ » w _1ср . Тогда диаграмма приведенного момента инерции второй группы звеньев в масштабе рассчитанном по формуле

y_I = y_T I^пр_II * m _I = (I^пр_II * w _1ср² / 2) * m _T , откуда

соответствует диаграмме кинетической энергии Т_II .

График кинетической энергии первой группы звеньев приближенно строим по уравнению

Т_I = Т - Т_II .

В каждом положении механизма из ординат кривой A= f (j ₁) вычитаем ординаты y_TII и получаем ординаты искомой диаграммы T_I = f (j ₁). Для этого необходимо ординаты диаграммы T_II = f (j ₁) из масштаба m _T перевести в масштаб m _A^* по формуле

y_TII^* = y_TII * m _A^*/ m _T .

Диаграмма кинетической энергии первой группы звеньев представлена на рис. 8.9.

4. Определение необходимого момента инерции маховых масс первой группы

Максимальное изменение кинетической энергии звеньев перD вой группы за цикл определяем по диаграмме

D T_Imax = ( y D _TImax )/ m _A .

Тогда необходимый момент инерции маховых масс первой группы звеньев, обеспечивающий заданный коэффициент неравномерности, равен

I_I^пр = D T_Imax / (w _1ср² * [d ] ) .

4.1. Определение момента инерции дополнительной маховой массы.

В нашем случае момент инерции дополнительной маховой массы рассчитывается по следующей зависимости

I_доп = I_I^пр - I₁₀ ,

где I₁₀ - момент инерции коленчатого вала .

5. Построение приближенной диаграммы угловой скорости

Если считать, что w ₁ » w _1ср , то

D T_I = I_I^пр *w _1ср * _{D w 1},

то есть диаграмма изменения кинетической энергии первой группы звеньев D T_I= f(j ₁) в другом масштабе соответствует диаграмме изменения угловой скорости D w ₁ = f (j ₁). Если считать что ординаты диаграмм равны, то

yD w ₁ = yD _TI m _A* D T_I = m w * D w ₁ m _A* I_I^пр *w _1ср * _{D w 1} = m w * D w ₁ ,

откуда

Ордината средней угловой скорости ( для определения положения начала координат на диаграмме угловой скорости )

yw _1ср = w _1ср *m w .

После определения положения оси абсцисс на диаграмме угловой скорости можно определить начальное значение угловой скорости

w ₁₀ = yw ₁₀ /m w ,

а по ней кинетическую энергию механизма в начальном положении

6. Определение размеров маховика.

Принимаем конструктивное исполнение маховика - диск. Тогда его основные размеры и масса определятся по следующим зависимостям:

наружный диаметр

ширина b = y _b * D ,

масса m = 1230* D ³,

где r = 7.8 кг/дм³ - плотность материала маховика ,

y _b - коэффициент ширины .

7. Определение углового ускорения звена приведения.

Как отмечено ранее для расчета углового ускорения звена приведения e ₁ = f(j ₁ ) лучше пользоваться формулой :

e ₁ = dw ₁/dt = М ^пр/ I^пр- w ₁²/(2* I^пр) * (d I^пр /dj ₁).

Необходимые для расчета значения величин определяем по ранее построенным диаграммам. Диаграмма функции e ₁ = f(j ₁ ) приведена на рис. 8.10.

Рис. 8.10

Приведенная статическая характеристика асинхронного электродвигателя. Понятие о устойчивости работы машины.

Как отмечалось ранее, силы действующие на механизмы зависят не только от положения или обобщенной координаты, а зависят и от времени или от скорости. Эти зависимости обычно определяются экспериментально и называются механическими характеристиками машины. Механическая характеристика приведенная к обобщенной координате или скорости называется приведенной механической характеристикой. В качестве примера рассмотрим приведенную статическую характеристику асинхронного электродвигателя.

На диаграмме: М ^пр_дп - приведенный пусковой момент; М ^пр_дн - приведенный номинальный крутящий момент; М ^пр_дк или М ^пр_дmax - приведенный критический или максимальный момент; w _1н - номинальная круговая частота вращения звена приведения; w _1хх или w _1с - частота вращения звена приведения на холостом ходу или синхронная. Уравнение приведенной статической характеристики асинхронного электродвигателя на линеаризованном участке устойчивой части

М ^пр_д = b₁^* + k₁^**w ₁ ,

где М ^пр_д - приведенный движущий момент на звене приведения,

w ₁ - круговая частота звена приведения ,

b₁^* = М ^пр_дн * w ₁ /(w _1с - w _1н ) , k₁^* = - М ^пр_дн / (w _1с - w _1н ).

Как на исходной статической характеристике двигателя, так и на приведенной можно выделить два участка: устойчивый - bd и неустойчивый - ab. На устойчивом участке при увеличении момента сопротивления на валу двигателя частота вращения уменьшается, обеспечивая сохранение мощности примерно на постоянном уровне, на неустойчивом участке работа двигателя невозможна, так как в любой точке этого участка увеличение момента сопротивления на валу двигателя должно сопровождаться увеличением частоты вращения и увеличением мощности двигателя, при этом моменты сопротивления больше пускового момента двигателя. При увеличении момента сопротивления на валу звена приведения до величины большей М^пр_дmax двигатель попадает в зону неустойчивой характеристики и останавливается. Для устойчивой работы машины необходимо, чтобы колебания момента сопротивления на

валу звена приведения не выходили за пределы линейной части устойчивого участка приведенной статической характеристики.

Учет приведенной статической характеристики при анализе

Учет влияния статической характеристики двигателя на закон движения машины можно проводить различными методами:

• совместным решением уравнения движения с уравнением статической характеристики;
• последовательным приближением (на первом этапе решается задача для сил зависящих только от положения, на втором и последующих учитывается статическая характеристика двигателя).

Рассмотрим решение задачи методом последовательных приближений для машинного агрегата с приводом от асинхронного электродвигателя (пример с поршневым насосом в лекции 6). При первом приближении решается задача определения закона движения без учета статической характеристики, по алгоритму описанному в предыдущем разделе. Затем определяется приведенная статическая характеристика и по ней определяются значения движущего момента при каждом значении угловой скорости, рассчитанной на первом этапе (при первом приближении). По этим значениям момента строится диаграмма движущего момента второго приближения М^пр_д(2), затем определяется суммарная работа, кинетическая энергия первой группы звеньев и угловая скорость звена приведения при втором приближении. Далее эти действия повторяются пока различия между результатами расчета на последующем этапе будут отличаться от результатов предыдущего на величину меньшую заданной погрешности. На рис. 8.12 показано графическое решения задачи при втором приближении.